前言
在设计一个光学系统时，分辨率往往是我们关注的一个核心指标。在宏观上讲，我们可以认为世界是处处连续的，但是对于光学系统而言，受到衍射效应的限制，我们不可能将两个距离极小的点区分开。分辨率就决定了光学系统——无论是相机、望远镜还是显微镜——能多么精细地区分两个紧密相连的点。
任何一本涉及到光学系统分辨率的书籍都会告诉你瑞利判据（Rayleigh Criterion）是指导我们理解分辨率极限的基本原则。瑞利判据，以英国物理学家瑞利勋爵（Lord Rayleigh）的名字命名，提供了分辨率的关键阈值。它指出，当一个图像的主衍射极大值与另一个图像的第一个极小值重合时，两个点是可分辨的。这个判据可以用数学公式表示为：
其中θ是角分辨率，λ是光的波长，D是孔径直径。
这个判据源自光的波动性。当光通过圆形孔径（如透镜）时，会发生衍射并产生艾里斑（Airy Disk）——一个明亮的中心点，周围环绕着同心环。分辨两个独立点的能力取决于这些衍射图案的重叠程度。
根据瑞利判据，除了角分辨率公式外，我们还可以得到两个公式，一个和F/#有关，一个和数值孔径NA有关。但是，当设计一个光学系统时，你清楚分辨率是用哪个公式计算的吗？这可能是不少人都糊涂的一个问题。在这篇文章我将试图澄清这个问题，希望可以为各位读者带来帮助。
一、望远镜的分辨率
当我们用一个长焦镜头拍摄深空天体，或者用眼睛观察木星时，我们对细节的分辨能力到底是和光学系统的孔径有关，还是和F/#有关呢。这个问题的答案关键在于，对于一个光学系统，我们所谈论的分辨率到底是什么。
在用望远镜或者长焦镜头观察天体的时候，目标离我们太过遥远，因此我们可以认为它们发出的都是平行光束，此时，如果两颗星星离得很近，他们发出的两束平行光进入光学系统，到人眼也好、汇聚到探测器(例如遥感卫星)也好，此时我们分辨他们的依据就是这两束平行光的视场角差异。因此这样的光学系统的分辨率就是指角分辨率：
这个公式强调了望远镜孔径的重要性，同样是可见光波段，则孔径越大，望远镜的分辨率越高。另外需要强调的是，这里的口径指的是入瞳的直径，虽然有的时候望远镜物镜的第一片光学元件就是入瞳，但这不完全一致，还请注意区分。当然这个公式说的是理论分辨率，实际上望远镜还受大气湍流等因素的影响，这可以通过自适应光学技术来减轻。空间望远镜（如哈勃望远镜）则通过在太空中工作，完全避免了大气干扰，实现更高的分辨率。
二、相机系统的分辨率
在设计和评价一个照相机镜头时，我们会讨论MTF曲线在多少线对处能达到多少。这是因为对于相机系统，分辨率既依赖于光学组件，也依赖于图像传感器。除了胶片，现在常用的数码相机探测器的一个像素具有一定的物理尺寸，因此如果我们根据数字信号处理的知识，让两个像素对应一个艾里斑直径，我们就可以认为此时光学系统的分辨率和探测器的分辨率达到了匹配。此时如果我们再讨论相机镜头的设计指标时，所考虑的就是在像方，一个艾里斑的直径大小。因此，对于相机的光学系统，我们谈论的实际上是像方的分辨率，这是和望远镜系统的本质区别。
将角分辨率和像方的光斑对应，这里面涉及到了镜头的焦距，所以此时的分辨率公式即包含孔径的因素，又包含焦距的因素。因此，我们可以用含有F/#的公式表示：
d=1.22 * λ*F/#
其中，d 是像方最小可分辨距离，F/# 是F数，即焦距与孔径的比值。这个公式直接与F/#相关，F/# 越小，系统的像方分辨率越高，即像方MTF曲线的衍射限越高。
如果是遥感卫星这种系统，我们既要根据物方无限远目标点的角分辨率计算系统的最小口径，又要根据像方分辨率和视场指导探测器选型。如果大家需要，后面我会完整介绍一下光学系统的指标是如何分解和论证的。
三、显微镜系统的分辨率
显微镜系统的分辨率不同于望远镜和相机系统。显微镜的主要目的是放大和分辨微小物体的细节，换句话说，显微镜分辨率的衡量标准在于能够将物面上距离多近的两个点区分开。同样是有限距离，显微镜分辨率与相机镜头分辨率的关键差异就是物方和像方的差异。
在导出显微物镜的分辨率时，我们有几个默认的假设和前面不同，首先，我们不再认为物空间和像空间的折射率相同，物空间的折射率为n，但像空间是空气，折射率为1；第二，我们认为在物空间，D/（2f）≈sinU，其中U是物方孔径角，D是光学系统口径的直径，f是焦距；我们把光学系统像方分辨率代换成孔径角的表达式，并将折射率折算到物方，可以得到：
显微镜的分辨率主要受光学系统的数值孔径和所使用光波长的限制。数值孔径越大，分辨率越高。数值孔径不仅取决于物镜的设计，还受限于光源的波长和物方的折射率。使用短波长的光（如紫外线）和将物体放入高折射率介质中可以进一步提高显微镜的分辨率。另外，这个公式只是瑞利判据下的近似公式，实际上，照明方式和数据接收方式等对于瑞利判据的适用性也有影响。还需要指出的是，这里的公式描述的是显微物镜受到衍射作用限制所产生的分辨率限制，和显微物镜的放大倍率不是一回事。
此外，现代显微镜技术如超分辨率显微镜（如STED、PALM）已经突破了传统的衍射极限，这些技术利用特定的光学和计算方法，能够在纳米级别上分辨微小结构，使科学家能够以前所未有的细节观察生物细胞和分子结构。
四、总结
综上所述，不同的光学系统有不同的分辨率公式和衡量标准。望远镜的分辨率主要依赖于孔径和角分辨率；相机系统的分辨率涉及F数和像方的分辨率；显微镜系统的分辨率则依赖于数值孔径和物方折射率。在设计和使用这些光学系统时，我们首先要搞清楚我们谈论的分辨率到底指的是什么，希望这篇文章对各位读者有所帮助。