在光场的数学表征中，全局频谱分析与局部空间特性的矛盾始终存在。傅里叶变换虽能精确描述信号的频域特征，却无法揭示其在空间域中的局部化分布——这一缺陷在分析非均匀光场（如部分相干光、超表面调控波前）时尤为显著。1946年，丹尼斯·加伯（Dennis Gabor）提出了一种结合高斯窗函数的时频联合分析方法，即加伯变换（Gabor变换）。在光学领域，这一方法被拓展为空频联合分析工具，为光场调控、成像系统优化提供了全新的数学视角。本文同样也是对上周杂光分析7那篇文章的一点补充，希望能够对大家有所帮助，特别是帮助大家理解工程光学和信息光学之间的联系。
一、Gabor变换的物理含义
Gabor变换的诞生源于对通信信号时频局部化表征的需求。在光学中，其核心思想可表述为：通过高斯窗函数对光场进行空间局域化截断，同时在空间频率域中解析其频谱特性。其数学形式为：
通俗来说，Gabor变换就像是给傅里叶变换加了一个“放大镜”。傅里叶变换能够告诉我们一个信号由哪些频率成分组成，但无法告诉我们这些成分在空间或时间上的具体分布。而Gabor变换通过高斯窗函数，将信号在空间域中进行局域化截断，使得我们能够同时看到信号的频率成分和这些成分在空间上的分布。这就好比我们不仅知道一个交响乐团由哪些乐器组成，还能知道每个乐器在乐团中的具体位置和演奏时间。
在光学领域，Gabor变换的应用非常广泛。例如，在分析部分相干光场时，加伯变换能够提供光场的空间—频率特性的联合信息。这对于理解光场的传播特性、设计光学系统以及优化成像质量都具有重要意义。此外，Gabor变换还被用于超表面的设计和分析，帮助研究人员更好地理解和控制光场的传播。
Gabor变换的理论如何转化为实际的光学工具？我们以Lyot光阑的杂光抑制为例展开分析。
二、Gabor变换辅助Lyot光阑设计
我们先来看一个简单的例子，考虑一维平面波：
对上式应用Gabor变换，可以写作：
其中的g(x)即为高斯窗函数，已经在上文中给出，式中的窗宽σ受到不确定性原理的限制，空间分辨率提升，则频率分辨率降低，反之亦然。Gabor变换后的函数G(x, f)表示了光信息在空间位置x和频率f处的局部频谱特性。具体来说，G(x, f)反映了信号在位置x附近，频率为f的成分的强度和相位信息。这种时频联合表示方法使得我们能够在空间域和频率域中同时分析信号的特性。
直观的讲，通过Gabor变换，我们可以将平面波分解为一系列高斯光束。每个高斯光束具有一定的空间位置和频率特性，可以看作是平面波的一个局部成分。这种分解方法使得我们能够更精确地分析和控制光场的传播和成像特性。
在上周的文章《杂光分析7》中，我介绍了光学系统衍射杂光抑制与Lyot光阑。Lyot光阑的设计涉及到对光学系统衍射场能量分布的求解，具体来说，在孔径光阑的共轭位置设置Lyot光阑，边缘产生的衍射效应会使得孔径光阑的像不足以阻挡全部位置。这里，我们就可以利用Gabor变换，通过高斯窗函数对入射平面波进行截取，分解得到一组高斯光束阵列。
如图所示，Lyot光阑（A3）位于孔径光阑（A1）的共轭面，通过截断边缘衍射能量抑制杂散光。
【光学知识】光学系统的杂光分析（七）—— Lyot光阑与衍射杂光
现在我们可以将这些高斯光束向前传播，在空间位置进行相干叠加，我们即可获得此处的光场分布与空间位置的对应关系。相比光线追迹，运用这种方法可以更精确的确定Lyot光阑的位置和大小，这对于日冕仪这种目标相对亮度很低的系统是很有意义的。
三、总结
Gabor变换通过空频联合分析，架起了光场全局特性与局部行为之间的桥梁。从案例可见，Gabor变换其既能捕捉信号的典型频率成分，又能定位这些成分的空间分布范围——这种特点在分析复杂光场（如涡旋光束、超表面衍射场）时尤为重要。结合Lyot光阑的案例，相信大家也能进一步体会信息光学与应用光学之间的联系。未来，在纳米光子学与量子光学测量中，这一数学工具或将进一步释放其价值。