最近在帮一位朋友改论文，我发现了一个问题，就是我们讨论光学系统时，会涉及到很多跟角度有关的参数，我们可能会直接用这些概念，但是到底这些概念指的是什么，可能还是会被很多人忽略的。今天我就抛砖引玉，整理一下与角度有关的参数及其概念，欢迎大家在评论区补充，文中在不同的地方也给出了一些我们之前写过的文章可供扩展阅读，大家可以收藏一下哦~
一、费马原理——入射角/出射角/反射角
在理解光学系统的各种与角度有关的参数前，我们需要明确光传播的基本规律。费马原理（Fermat’s Principle）是几乎所有几何光学规律的根源，它指出：光在介质中沿着光程取极值的方向传播。光程（Optical Path Length, OPL）的定义为：
其中n为介质折射率，ds为微元长度。费马原理说明光不会沿着任意路径传播，而是会选择一个使 OPL 稳定的路径。因此，从费马原理可以自然推导出两条非常熟悉的光学定律：
（1）反射定律
设光从介质中射向一理想镜面，镜面入射点为关键点。由于入射路径与反射路径的变化会影响总光程，因此对入射点位置进行变分，令光程达到最小可得：
即入射角等于反射角，且二者均在入射面内。这里的入射角θi和反射角θr指的是光与入射面法线的夹角。
（2）斯涅尔定律
若光从折射率n1的介质进入折射率n2的介质，根据费马原理在界面的入射点处进行变分，可得著名的斯涅尔定律，即折射定律：
折射角通常也是“出射角”概念的原型，用于描述光从不同介质出射后的方向偏转。
由于折射率是波长的函数，对于不同的波长，折射角也会有所差异，这就是色差的来源。利用这个性质，我们也可以用棱镜进行分光，下面的案例是我仿真过的一个实验室光路搭建方式：
用Zemax搭建一个棱镜色散系统光路
二、孔径角
孔径角（Aperture Angle）描述光束通过光学系统某一光阑或透镜时，其入射至光学中心的最大锥角范围。它反映系统允许进入的光线倾斜程度。实际上，孔径角的物理意义与出瞳和入瞳大小是一致的。
浅谈孔径光阑-以硬质内窥镜为例
设物点到光学系统入瞳的距离为s，入瞳半径为r，物方孔径角定义为：
这里还涉及到一个符号规则的问题，在国内沿用苏联惯例，光线与光轴的夹角：如U，以光轴为始边，从锐角方向转到光线，顺时针转成者为正，逆时针转成者为负；光线和法线的夹角：如I和I’，以光线为始边，从锐角方向转到法线，顺时针者为正，逆时针者为负。
当角度较小时，U≈tanU≈sinU，例如著名的阿贝正弦条件，推导时即采用了这样的近似。像方孔径角的定义同理，根据定义，像方F数和孔径角U'之间可以有如下近似公式：
有时我们习惯使用数值孔径描述光学系统的分辨率，或光纤的通光能力，根据数值孔径的定义，假设介质为空气，折射率为1，此时有：
在光学相关的资料中，这可能是大家最常用的公式之一。
三、视场角
视场角（Field of View, FOV）用于描述光学系统可观测空间范围的大小，反映系统能看到的“视野”。
假设光学系统像高已知（即探测器规格固定），同时焦距已知，则可以计算理想状态下的物方视场角：
同理，若指标给定物方视场要求，我们也可以选取探测器和焦距。
但是必须提醒大家，这里我们没有考虑畸变的影响，同时，如果我们需要设计激光扫描物镜，或者鱼眼镜头，也不能直接这样换算。
【成像光学基础】F-theta畸变的概念及应用
四、束散角
与常规成像镜头不同，在与激光有关的应用中，我们还需要考虑高斯光束的特性，束散角（Beam Divergence Angle）用于描述激光或准直光束的发散程度，是激光系统中非常重要的角度参数。
理想高斯光束的远场发散角为：
其中w0为束腰半径，上式说明高斯光束束腰越细，发散角越大。因此我们可以很自然的得到一个想法，如果我们想要压缩远场发散角，就需要对高斯光束进行扩束。在一些远距离激光传输的场景，我们也经常能看到以很大口径输出的高斯光束，这就是为了控制发散角，在接收端获得更多能量。
另外，实际的高斯光束总是和理想高斯光束有偏差，这时候我们可以引入一个M2因子描述：
M² 越大，光束质量越差、发散越明显。
与M2因子等价的参数还有BPP，BPP（Beam Parameter Product）定义为束腰半径与远场发散角的乘积，即 BPP = W × θ，其中W为束腰半径，θ为远场发散角。代换后可得：
在激光光束质量测试中，这是最容易直接获取的参数，因此在实际工程中得到了广泛使用。
如何用Zemax仿真高斯光束的传播
【光学设计技巧（3）】高斯光束的切趾因子是什么含义||之晓光学
五、衍射与色散角
目前传统光学系统的发展方向主要是一大一小，一大指的是大口径，大视场，高分辨率，一小指的是小型化，轻量化。其中一种有效的技术路径是衍射光学元件的使用，例如衍射主镜，超透镜，超表面等。这些元件与传统器件对波前调制的原理不同，可以起到良好的效果。
未来镜头发展方向-微纳光学技术概述
除了微纳相关的器件，其实我们生活中最长接触到的衍射元件是光栅，尤其是在各种高光谱成像，成分分析，浓度检测中，光栅往往作为光谱相机的核心器件。
如何设计一个近红外光谱仪——DMD编码型
【光学知识】光谱维度的信息是如何获取的——高光谱成像原理||之晓光学
在进行光谱仪光学系统设计时，需要根据光栅方程进行计算，以确定反射镜和光栅参数情况。首先有光栅方程：
上式中假设一束光束的入射角固定（准直后的光束入射到平面光栅上），则出射光束的出射角是波长的函数，不同波长被衍射到了不同的方向上，利用这个性质，我们就可以获取光谱信息。
例如，我们现在要设计一个反射式近红外光谱仪，输入光纤的数值孔径NA=0.20，可以计算第一个反射镜的焦距和曲率半径，选取第一反射镜直径为15mm,则有：
对于第二反射镜，根据光栅方程有：
探测器长度根据指标确定为6.4mm，因此第二反射镜有焦距：
为了实现交叉C-T结构，两个反射镜具有一定倾斜量，考虑到像差控制，使第一反射镜倾斜10°，第二反射镜倾斜15°。由于系统整体不具有对称性，将产生明显的像散如图2-4所示，因此在焦面前加入柱面镜进行校正。综上所述初始结构参数如表2-1所示。
六、总结
在光学系统中，围绕“角度”这一概念有着许多不同的参数，这些角度参数不仅代表几何意义上的方向和范围，更深层次地决定着系统的成像性能、通光效率、光束质量以及功能性表现。理解这些参数之间的关系，有助于我们更准确地分析问题、优化设计、提升光学产品的整体水平。
光学中的各种角度，绝不是孤立的概念，每一个角度都折射着系统性能的一部分。期待更多业内朋友在实践中分享经验，也欢迎在评论区补充讨论，让我们一起把光学系统讲得更清晰、更深入。