在计算机发明之前，我们想要设计一个镜头，也需要通过光线追迹去计算各种像差参数。我们现在谈到几何光学，很多重要的概念都是在这个过程中提出并发展应用的。现在我们市面上能见到的几乎所有光学设计软件，最基础的功能都是用几何的方法追迹光线。所有的优化功能和评价都是基于光线追迹得到的。但是大家真的明白如何在一个透镜组中去追迹一条光线吗，可以自己编程去计算出来吗？
今天我先向大家演示在近轴光学下的光线追迹方法，并给出一个Excel表格可供大家使用。后续我们希望把这个做成一个系列，通过自己编程计算，相信能帮助很多初学者真正理解光学设计中的各种基本知识~
一.近轴光学的理论基础
近轴光学 (Paraxial Optics)又被称为高斯光学（Gaussian Optics），该理论主要应用了近轴近似，即假设光线与光轴的夹角非常小，因此满足小角度近似条件：
在这个基础上，简化斯涅尔定律，即折射定律，可以得到一个线性方程组：
其中i表示第i个表面处，y为光线高度，u为光线与光轴的夹角，t为表面厚度，n为折射率，R为曲率半径。利用上面的式子，即可近似的描述光线在一个界面前后的行为，从前到后传递。
因此，上式及其各种变形也被称为转面公式或者传递公式，通过对上式的迭代计算，我们即可实现光线从前一个面到后一个面的追迹，这种一个一个表面依次计算的方法也就是所谓的序列模式计算方法。
二.用Excel实现
首先定义输入光线参数，主要包括输入光线的高度（其实也就是入瞳的直径），以及输入光线与光轴的夹角（视场角，对应各个表面的光线高度以及像高）。
完成初始定义后，我们可以在表格另外的位置输入表面的参数，这里我使用与常见光学设计软件一致的输入方式，可以定义表面的半径，厚度，以及折射率。这里我简单的给定一个两片透镜组成的模型，因为我们现在不知道组合后的焦距，也不知道后截距，最后一个表面到像面的间隔可以随便给一个：
近轴理论下传递公示的核心就是在一个表面折射后，对应的表面位置高度，以及出射光线和光轴的夹角，这里我们可以很容易的用Excel实现迭代计算：
编辑好公式后直接在对应的单元格下来即可，这里我们可以看到，虽然追迹了一条平行光线，最终像面上的高度却不是0，说明现在像面位置不是焦面位置。
这里我们可以像商用软件那样求解，应用Excel表中自带的数据 -模拟分析-单变量求解即可找到对应的后焦位置，目标值设为0，将后焦对应的D12单元格设为变量，点击确定。
此时即可得到近轴焦面位置：
三.验证与问题
此时我们把表格中的数据输入到Zemax中，可以看到现在这两片透镜正确聚焦了，这说明我们的计算没有问题：
但是，当我们增大表格中输入的孔径和视场时，我们会发现，孔径越大，视场越大，Excel表格中的计算结果和Zemax的偏差越大：
（入瞳直径为30mm）
（视场角为10°，注意像面大小和光线形态）
（视场角为30°，注意像面大小和光线形态）
了解过镜头设计的读者肯定就知道了，这个误差正是我们说的像差。近轴理论本质上是一种线性近似，只在光线和光轴的夹角u较小时满足。上面我举的几个例子对应了新的情况，具有两条新的特点：
（1）近似失效：无法认为sinU=U，小角近似失效；
（2）薄透镜失效：在近轴理论中，我们认为透镜没有厚度，但实际的透镜是一个球面，当口径和视场角增大时，我们不能忽略表面矢高的影响。
如果让光线传递严格遵循斯涅尔定律，我们就可以得到各个表面光线位置的精确解，但是在没有计算机的时代，这样的计算过于复杂，因此利用泰勒展开，将三角函数分解，并忽略高阶项，我们就可以得到初级像差。如果大家感兴趣，可以自行研究一下，我们在后面也会给大家介绍。
四.总结
本文利用Excel简单的构建了一个一阶光线追迹工具，当前的计算模型已成功复现了近轴光学的理论计算。建议大家尝试自行设计，这个和我们之前演示的一些程序相比非常简单，相信大家完全可以自行完成。