在微纳光学的发展中，谐衍射透镜（Harmonic Diffractive Lenses, HDE）代表了一种新型的光学元件，通过结合折射与衍射特性，为多波长成像和色散控制提供了新的解决方案。本文我就接着上次的话题，在前半部分聊一聊谐衍射透镜，同时在后半部分聊一聊和谐衍射透镜看起来很像，但又完全不一样的菲涅尔透镜。如果觉得有帮助，还请多多转发支持，之后我也会进一步写写微纳元件的仿真计算和加工工艺问题。
一、谐衍射透镜
在之前的文章中，我已经介绍了二元面和二元光学透镜是怎么一回事，简单来说，二元光学透镜BOL就是利用的衍射的位相调制作用，产生出了类似于普通折射透镜的光线汇聚（或发散）效果，而色散等光学特性又与一般的折射透镜完全不同。但是，由于严格意义上的二元光学透镜，每个环带的高度对应2Π周期，如果在可见光波段，这个高度是很小的，实际加工起来成本很高，那么，如果每个环带的高度对应2Π周期的整数倍会发生什么呢？
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在1995年，Sweeney等人提出了谐衍射透镜（Harmonic Diffractive Lenses, HDE）的概念[1, 2]。HDE最大的特点就是相邻环带之间的位相是设计设计波长单个周期（2Π，也可以直接用光程差衡量，二者是等价的）的整体p(p>2)倍，称p为谐衍射级数[3]。
在传统光学系统中，折射透镜的焦距和色散性能通常由材料的折射率和几何形状决定，而衍射元件则通过光波在微结构上的衍射来实现波长依赖的光学调控。与普通衍射透镜不同，谐衍射透镜的设计考虑了厚度与色散性能的平衡。这种设计使得HDE可以在保持一定衍射效率的同时，兼具折射透镜的某些优点，例如工程可实施性和成本。我们可以进一步对p值进行讨论：
（1）当p＝1时，此时即为普通衍射透镜，我们在前面的文章中已经讨论过了。
（2）随 p逐渐增大，HDE的厚度相应增加，使其折射特性逐渐增强，而衍射特性则有所减弱。色散大小介于衍射透镜与折射透镜之间，方向与传统透镜的相反，但材料对色散特性有影响。
（3）p趋近无穷大，此时即为普通折射透镜，色散只与材料本身有关。
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和DOE一样，我们也可以直接给出HDE的相关光学特性表达式，假设设计焦距为f0，我们也就可以给出该器件对于任意波长的焦距：
其中m是衍射级次，谐衍射透镜同样有无数个焦点，如要使焦距相对波长的函数f (λ)与设计焦距 f0 重合，则这个波长应该满足条件：
这个式子说明，对于某一个确定的衍射级次m，有若干个波长的光线都会汇聚在同一焦点。结构参数p为HDE带来了较高的设计自由度。通过选择适当的结构参数，设计者可以控制衍射级次和谐振波长，从而在给定的光谱范围内，实现多个波长的共焦成像。这个性质使得谐衍射透镜在医疗、激光等技术领域已经得到了广泛应用。
由于谐衍射并不发生在亚波长量级，我们也可以较为方便的写出HDE的衍射效率表达式[4]：
而由于不同的衍射级次，对应不同的焦点，这种衍射效率的缺陷可能会在像面上形成明显的衍射光斑，如下图所示，就是一个衍射相机的实拍结果。
（大家如果对上图感兴趣可以去搜搜看这个视频）
二、菲涅尔透镜
在前面一节中，我们探讨了谐衍射透镜（HDE）的独特光学特性，尤其是在色散控制和多波长成像方面的优势。在日常生活中，我们其实很容易见到一种和HDE很像但又不同的光学元件，即菲涅尔透镜，最早由法国物理学家奥古斯丁·菲涅尔在1822年提出，最初应用于灯塔的光源集中。必须要指出的是，这种器件的尺度远大于微米量级，严格意义上不属于微纳光学的一部分，光学特性也和严格意义上的微纳光学元件有很大差别，这里主要做一下辨析。
菲涅尔透镜属于衍射光学的范畴，但不严格属于微纳光学。菲涅尔透镜通过减少透镜材料的厚度，将其分割为多个同心环来实现光线的聚焦或发散，这种设计属于宏观尺度的衍射光学元件。相比之下，微纳光学涉及的是在微米或纳米尺度下对光的操控，通常使用纳米结构和表面等特性来实现光学功能。因此，菲涅尔透镜虽具有衍射特性，但不在微纳光学的严格定义范围内。
菲涅尔透镜用一系列同心槽代替了传统透镜的曲面，浇铸成一个薄且轻的塑料板面。每个环带都相当于一个独立的折射面，这些环带都能使入射光线汇聚到一个共同的焦点。虽然菲涅尔透镜的设计初衷并不在于改善色散或多波长成像，但它通过简化透镜结构，实现了传统透镜难以达到的轻量化和制造经济性。然而，这种设计也带来了一定的像差和衍射效应，这可能导致在成像系统中应用效果不佳。
尽管如此，菲涅尔透镜已经得到了广泛应用，例如在各类照明系统中光线的汇聚或准直。使用菲涅尔透镜设计的光学系统不仅能在重量上显著减轻，还能在制造成本上具有优势，这使得它在大规模应用中具备很强的竞争力。我们可以拿出手机看看摄像头旁边的闪光灯，这就是一个典型的菲涅尔透镜应用案例，我们用肉眼即可看出表面的微结构。我们也可以很容易买到菲涅尔透镜的标准件，从而快速的搭建光路。
三、一个设计案例
恰恰是因为菲涅尔透镜不属于微纳光学，我们才能比较容易地设计和仿真。假设我们想要设计一个焦距为50mm，口径为20mm的透镜，如果用平凸的单透镜实现的话，效果如下：
在光学设计软件中，我们也有直接的菲涅尔面可供使用，假设边缘厚度为2mm，采用材料为PMMA，优化一下结构效果如下：
同样的，在杂光分析软件tracepro或lighttools中也可以很容易的仿真菲涅尔透镜，例如在lighttools中，我们可以对上面的优化结果进行如下建模，同心圆环并且环带间距0.3mm，结果如下图所示，这样的模型可以直接加入到非序列光线追迹中。
四、总结
本文深入探讨了谐衍射透镜作为微纳光学元件的独特优势，它通过调控光学相位和衍射级次，实现了卓越的色散校正和多波长成像。这种光学元件在微纳光学系统中具有广阔的应用前景。与菲涅尔透镜相比，HDE更适合精密的微纳光学设计，而菲涅尔透镜以其轻便、易于制造、成本低廉的特点，在各种应用中发挥着重要作用，尤其是在不需要极高成像精度的场合。