光学百科 · 公式目录

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几何光学

折射定律

式 1-1

n \sin I = n' \sin I'

式中

n、n′: 入射介质和折射介质的折射率；撇号表示折射侧单位：无量纲
I: 入射光线与界面法线的夹角单位：角度
I′: 折射光线与界面法线的夹角单位：角度

适用条件：适用于各向同性介质的平滑界面。本图按锐角取角；计算三角函数时角度制须一致。

近轴近似

式 1-2

\sin u \approx u, \tan u \approx u, \cos u \approx 1

式中

u: 光线与光轴所成的小角度单位：rad

适用条件：近轴小角近似；u 必须采用弧度值。

焦距（有效焦距）

式 1-3

\frac{f'}{f} = - \frac{n'}{n}

式中

f、f′: 物方焦距和像方焦距，从各自主点量到焦点的有向距离单位：长度
n、n′: 物方和像方介质折射率单位：无量纲

适用条件：适用于中心光学系统的近轴成像；轴向有向距离沿 +z 为正。

后截距（BFL）

式 1-4

BFL = f' + d'

式中

BFL: 后截距，从最后一个光学表面顶点 V₂ 到像方焦点 F′ 的有向距离单位：长度
f′: 像方焦距，从像方主点 H′ 到 F′ 的有向距离单位：长度
d′ = V₂H′: 最后表面顶点 V₂ 到像方主点 H′ 的有向距离单位：长度

适用条件：三个距离使用同一轴向及长度单位；+z 沿物方至像方。

薄透镜成像公式

式 1-5

\frac{1}{l'} - \frac{1}{l} = \frac{1}{f'}

式中

l、l′: 从薄透镜所在平面量起的物距和像距单位：长度
f′: 薄透镜在空气中的像方焦距单位：长度

适用条件：空气中的球面薄透镜，采用近轴近似；有向距离沿 +z 为正，所有长度单位一致。

式 1-6

\frac{1}{f'} = (n - 1) (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})

式中

f′: 薄透镜在空气中的像方焦距单位：长度
n: 透镜材料相对于空气的折射率单位：无量纲
R₁、R₂: 沿传播方向依次遇到的两个球面的曲率半径；曲率中心在顶点 +z 侧为正单位：长度

适用条件：空气中的球面薄透镜，采用近轴近似；有向距离沿 +z 为正，所有长度单位一致。

折射率

式 1-7

n = \frac{c}{v_{p}}, n_{rel} = \frac{n_{medium}}{n_{reference}}

式中

n: 绝对折射率单位：无量纲
c: 真空光速单位：m/s
vₚ: 介质中的相速度，下标 p 表示相位单位：m/s
nᵣₑₗ: 相对折射率单位：无量纲
n_medium、n_reference: 所考察介质和参考介质在同一波长下的绝对折射率单位：无量纲

适用条件：相速度与相折射率对应；有色散时应注明波长。

理想光学系统

物距与像距

式 2-1

\frac{f}{l} + \frac{f'}{l'} = 1, \frac{n'}{l'} - \frac{n}{l} = \frac{n'}{f'}

式中

l、l′: 分别从物方主点和像方主点量起的物距与像距单位：长度
f、f′: 物方焦距和像方焦距单位：长度
n、n′: 物方和像方介质折射率单位：无量纲

适用条件：中心光学系统的高斯成像关系；轴向有向距离沿 +z 为正，长度单位一致。

横向放大率

式 2-2

β = \frac{y'}{y} = \frac{n l'}{n' l}

式中

β: 横向放大率，符号表示物像的正倒关系单位：无量纲
y、y′: 同一共轭物点与像点的有向高度单位：长度
l、l′: 从各自主点量起的物距和像距单位：长度
n、n′: 物方和像方介质折射率单位：无量纲

适用条件：近轴共轭成像；物像高度采用相同的横向正方向。

像高

式 2-3

| y' | = f' \tan | W |, d = \sqrt{w^{2} + h^{2}}

式中

y′: 像点相对光轴的有向高度单位：长度
f′: 像方焦距单位：长度
W: 物方半视场角，即该视场方向与光轴的夹角单位：角度
w、h、d: 矩形有效像面的宽、高及对角线长度单位：长度

适用条件：像高关系用于远物、近似无畸变的正焦距系统；W 在本条表示视场角。尺寸关系用于矩形像面。

焦深

式 2-4

δ \approx \frac{n' λ}{2 {(NA')}^{2}}, Δ z_{total} = 2 δ

式中

δ: 按波像差判据给出的像面单侧轴向容许离焦量单位：长度
Δzₜₒₜₐₗ: 前后两侧合计的轴向范围，下标 total 表示总范围单位：长度
n′: 像方介质折射率单位：无量纲
λ: 真空波长单位：长度
NA′: 像方数值孔径，NA′ = n′ sin U′；U′ 为像方孔径半角单位：无量纲

适用条件：纯离焦、近轴条件；波像差判据取瞳边缘相对瞳中心的光程差幅值为 λ/4。

式 2-5

δ_{geom} \approx N_{w} c (n' = 1)

式中

δgeom: 按几何弥散圆判据给出的单侧轴向容许离焦量单位：长度
Nw: 工作 F 数，Nw = 1/(2 NA′)，下标 w 表示工作状态单位：无量纲
c: 允许弥散圆的直径单位：长度

适用条件：几何弥散圆判据，像方为空气且孔径角较小；c 为直径。与波像差判据分别使用。

光束限制

F 数

式 3-1

N = \frac{f'}{D_{EP}}

式中

N: 标称 F 数单位：无量纲
f′: 像方有效焦距单位：长度
D_EP: 入瞳直径；EP 为 entrance pupil（入瞳）单位：长度

适用条件：通常用于摄影与成像镜头的标称孔径；f′ 与入瞳直径使用同一长度单位。

工作 F 数

式 3-2

N_{w} = \frac{1}{2 n^{'} \sin U^{'}} = \frac{1}{2 {NA}^{'}}

式中

Nw: 工作 F 数，下标 w 表示工作状态单位：无量纲
n′: 像方介质折射率单位：无量纲
U′: 轴上边缘光线与光轴所成的像方孔径半角，取非负值单位：角度
NA′: 像方数值孔径，NA′ = n′ sin U′单位：无量纲

适用条件：采用本条所引 OpticStudio 手册的工作 F 数定义；孔径角取实际像方轴上光束。

式 3-3

N_{w} \approx N (1 - β) = N (1 + | β |), β < 0

式中

Nw: 工作 F 数，下标 w 表示工作状态单位：无量纲
N: 标称 F 数，N = f′/D_EP单位：无量纲
β: 横向放大率；实物成倒立实像时 β < 0单位：无量纲

适用条件：空气中的薄透镜近轴估算，适用于 β < 0 的实物实像共轭；实际复杂系统按像方孔径角求值。

数值孔径

式 3-4

NA = n \sin U, NA' = n' \sin U'

式中

NA、NA′: 物方数值孔径和像方数值孔径单位：无量纲
n、n′: 物方和像方介质折射率单位：无量纲
U、U′: 物方和像方孔径半角，均取非负值单位：角度

适用条件：折射率、孔径角分别取同一侧；撇号表示像方。

渐晕

式 3-5

K_{A} = \frac{A_{pass}}{A_{pupil}}

式中

K_A: 几何通光面积比，下标 A 表示按面积统计单位：无量纲，0～1
A_pass: 指定视场的光束在所选瞳面上的实际通光面积单位：面积
A_pupil: 同一瞳面上未受渐晕限制时的基准通光面积单位：面积

适用条件：分子和分母必须在同一瞳面、按同一面积定义计算；辐射通量比还取决于瞳面照明与透过率分布。

视场与视场角

式 3-6

{FOV}_{x} = 2 \arctan (\frac{w}{2 f'})

式中

FOVₓ: 物方水平方向的全视场角，x 表示水平方向单位：角度
w: 有效像面的宽度单位：长度
f′: 像方焦距单位：长度

适用条件：远物、正焦距且近似无畸变的直线投影模型；反正切返回弧度时，换算为度需乘 180/π。

景深

式 3-7

v_{0} = \frac{f' s_{0}}{s_{0} - f'}, c (s) = D v_{0} | \frac{1}{s} - \frac{1}{s_{0}} |

式中

s、s₀: 正值物方距离，s = −l；s₀ 为调焦所对应的物距单位：长度
v₀: 调焦后固定的透镜至像面距离；下标 0 表示调焦状态单位：长度
f′: 空气中薄透镜的像方焦距单位：长度
D: 该薄透镜的有效通光直径单位：长度
c(s): 物点位于 s 时，在固定像面上形成的几何弥散圆直径单位：长度

适用条件：空气中薄透镜的近轴模型，s₀ > f′，像面固定；按 c(s) ≤ c_allow 判定可接受的物距范围。

几何像差

球差

式 4-1

δ L' (h) = L' (h) - l'

式中

δL′(h): 入射高度为 h 的光线相对近轴焦点的轴向球差单位：长度
L′(h): 该高度光线与光轴交点的轴向位置单位：长度
l′: 同一轴向基准下近轴焦点的位置单位：长度
h: 轴上物点光束在指定入射平面上的光线高度单位：长度

适用条件：轴上物点、同一波长；两位置从同一轴向基准量起，沿 +z 为正。

彗差

式 4-2

K_{t}' = \frac{y_{a}' + y_{b}'}{2} - y_{p}'

式中

Kₜ′: 子午彗差的有向量值，下标 t 表示子午方向单位：长度
yₐ′: 上侧取样光线在指定像面上的有向高度单位：长度
yᵦ′: 与其对称的下侧取样光线在同一像面上的有向高度单位：长度
yₚ′: 主光线在同一像面上的有向高度，下标 p 标识主光线单位：长度

适用条件：同一轴外物点、同一波长和评价像面；a、b 为选定的对称孔径取样光线，p 为主光线。

像散

式 4-3

Δ z_{TS} = z_{t}' - z_{s}'

式中

Δz_TS: 子午与弧矢焦线的轴向位置差，下标 TS 标识这两方向单位：长度
zₜ′: 子午焦线的轴向位置单位：长度
zₛ′: 弧矢焦线的轴向位置单位：长度

适用条件：同一轴外视场、同一波长；两位置取同一轴向原点，沿 +z 为正。

畸变

式 4-4

δ y' = y_{actual}' - y_{ideal}', D_{rel} = \frac{δ y'}{y_{ideal}'} \times 100 %

式中

δy′: 实际像高相对理想像高的差值，即绝对畸变单位：长度
y_actual′: 实际主光线在评价像面上的有向像高单位：长度
y_ideal′: 所采用理想投影关系给出的像高单位：长度
D_rel: 相对畸变，下标 rel 表示相对量单位：%

适用条件：比较同一物方视场及评价像面；相对畸变式要求 y_ideal′ ≠ 0。理想投影关系须与应用一致。

轴向色差

式 4-5

Δ l_{λ_{1} λ_{2}}' = l_{λ_{1}}' - l_{λ_{2}}'

式中

Δl′_λ₁λ₂: 波长 λ₁ 与 λ₂ 的近轴像距之差，顺序为前者减后者单位：长度
l′_λ₁: 波长 λ₁ 的近轴像距单位：长度
l′_λ₂: 波长 λ₂ 的近轴像距单位：长度
λ₁、λ₂: 参与比较的两个真空波长单位：长度，常用 nm

适用条件：同一轴上物点、同一轴向坐标基准；像距沿 +z 为正。

倍率色差

式 4-6

δ y_{λ_{1} λ_{2}}' = y_{λ_{1}}' - y_{λ_{2}}'

式中

δy′_λ₁λ₂: 同一物点在两波长下的像高差，顺序为 λ₁ 减 λ₂单位：长度
y′_λ₁: 波长 λ₁ 对应的有向像高单位：长度
y′_λ₂: 波长 λ₂ 对应的有向像高单位：长度
λ₁、λ₂: 参与比较的两个真空波长单位：长度，常用 nm

适用条件：比较同一轴外物点在同一评价像面上的像高，横向正方向一致。

像质评价

离焦

式 5-1

W_{d} (ρ) = A_{20} ρ^{2}, | A_{20} | \approx \frac{{(NA')}^{2}}{2 n'} | Δ z |

式中

W_d(ρ): 波像差 W 的纯离焦分量，即实际波面相对所选理想参考球面的光程差中由离焦产生的部分；d 表示离焦单位：光程长度，常用 μm
A₂₀: 本式中 ρ² 项的系数；瞳中心的常数项已扣除，因此 W_d(1) = A₂₀，表示瞳边缘相对瞳中心的离焦光程差单位：光程长度，与 W_d 相同
ρ: 归一化瞳半径：瞳内径向坐标除以瞳半径，瞳中心为 0、边缘为 1单位：无量纲，0～1
NA′: 像方数值孔径，NA′ = n′ sin U′；U′ 为像方孔径半角单位：无量纲
n′: 像方介质折射率单位：无量纲
Δz: 评价像面相对参考像面的轴向位移，Δz 等于评价像面的 z 坐标减去参考像面的 z 坐标，沿 +z 为正单位：长度

适用条件：近轴纯离焦、均匀像方介质，已去掉与瞳位置无关的常数项。第二式仅给幅值；正负号取决于参考球面及光程差约定。A₂₀ 是本式的系数记号，软件的 Zernike 项号与归一化方式须另行核对。以“波长数”表示波像差时，用 W_d/λ，其中 λ 为真空波长。

点扩散函数（PSF）

式 5-2

E_{image} (x, y) = E_{ideal} (x, y) * h (x, y), \iint h (x, y) d x d y = 1

式中

E_image、E_ideal: 实际像面辐照度与理想几何像的辐照度分布单位：W/m²，或统一换算后的面积单位
h(x, y): 归一化强度点扩散函数，平面积分为 1单位：长度⁻²，与 x、y 的面积单位对应
x、y: 像面上的两个正交位置坐标单位：长度
∗: 二维卷积运算单位：运算符

适用条件：非相干、线性且局部空间不变的强度成像模型；坐标、辐照度和归一化 PSF 的面积单位须一致。

调制传递函数（MTF）

式 5-3

H (ν_{x}, ν_{y}) = \frac{ℱ {h} (ν_{x}, ν_{y})}{ℱ {h} (0, 0)}, MTF = | H |

式中

H(νₓ, νᵧ): 归一化光学传递函数（OTF），通常为复数单位：无量纲
h: 归一化强度点扩散函数（PSF）单位：长度⁻²，与像面坐标的面积单位对应
ℱ{h}: 对像面坐标作二维傅里叶变换；ℱ{h}(0, 0) 为零频值单位：运算及其结果
νₓ、νᵧ: 像面 x、y 方向的空间频率单位：cycles/mm 或 lp/mm
MTF: 调制传递函数，即归一化 OTF 的模单位：无量纲

适用条件：采用非相干、线性且空间不变的强度成像模型，零频归一化值须非零。

式 5-4

C = \frac{E_{\max} - E_{\min}}{E_{\max} + E_{\min}}

式中

C: 正弦条纹的调制度单位：无量纲
E_max、E_min: 同一条纹的最大和最小辐照度单位：相同辐照度单位

适用条件：条纹极大、极小值在同一测量条件下取得，E_max + E_min > 0。

空间频率

式 5-5

ν = \frac{1}{d}

式中

ν: 一维周期结构的空间频率单位：cycles/mm 或 lp/mm
d: 一个完整明暗周期在所选物面或像面上的长度单位：mm，与频率单位对应

适用条件：频率与周期必须对应同一物面或像面；一个线对等于一个明暗周期。

衍射极限

式 5-6

ν_{c, c o h} = \frac{NA'}{λ}, ν_{c, i n c o h} = \frac{2 NA'}{λ}

式中

νc,coh: 相干振幅传递的截止空间频率；coh 表示相干单位：长度⁻¹
νc,incoh: 非相干强度传递的截止空间频率；incoh 表示非相干单位：长度⁻¹
NA′: 像方数值孔径单位：无量纲
λ: 真空波长单位：长度

适用条件：单色、无像差、无遮挡圆瞳；两个截止频率分别属于相干振幅和非相干强度模型。λ 与频率的长度单位须互为倒数。

艾里斑

式 5-7

r_{A} = \frac{v_{1}}{2 π} \frac{λ}{{NA}^{'}} \approx 0.609835 \frac{λ}{{NA}^{'}} \approx 1.219670 λ N_{w}

式中

r_A: 艾里斑第一暗环的半径，下标 A 标识艾里斑单位：长度
v₁: 第一类一阶贝塞尔函数 J₁ 的第一个正零点，约 3.831706单位：无量纲
λ: 真空波长单位：长度
NA′: 像方数值孔径单位：无量纲
Nw: 工作 F 数，Nw = 1/(2 NA′)单位：无量纲

适用条件：单色、均匀照明、无遮挡圆瞳的标量衍射模型；像面关系采用近轴条件。

式 5-8

θ_{A} \approx 1.219670 \frac{λ}{D_{EP}} （远物，空气）

式中

θ_A: 物方第一暗环的角半径单位：rad
λ: 真空波长单位：长度
D_EP: 入瞳直径单位：长度

适用条件：物方为空气、远物、小角条件；θ_A 为半径对应的角量。

式 5-9

\frac{E (r)}{E (0)} = {[\frac{2 J_{1} (v)}{v}]}^{2}, v = \frac{2 π {NA}^{'} r}{λ} = \frac{π r}{λ N_{w}}

式中

E(r)、E(0): 距中心 r 处及中心处的像面辐照度单位：相同辐照度单位
r: 像面距斑中心的径向距离单位：长度
v: 无量纲径向变量，v = 2π NA′r/λ单位：无量纲
J₀(v)、J₁(v): 第一类零阶和一阶贝塞尔函数单位：无量纲
NA′: 像方数值孔径单位：无量纲
λ: 真空波长单位：长度
Nw: 工作 F 数，Nw = 1/(2 NA′)单位：无量纲

适用条件：均匀无遮挡圆瞳；v = 0 时按极限取 E(r)/E(0) = 1。

式 5-10

EE (r) = \frac{\int_{0}^{r} E (ρ) 2 π ρ d ρ}{\int_{0}^{\infty} E (ρ) 2 π ρ d ρ} = 1 - J_{0}^{2} (v) - J_{1}^{2} (v)

式中

EE(r): 半径 r 内的环围能量占总能量的比例单位：无量纲，0～1
E(r)、E(0): 距中心 r 处及中心处的像面辐照度单位：相同辐照度单位
r: 像面距斑中心的径向距离单位：长度
ρ: 环围能量积分中的实际径向积分变量单位：长度，与 r 相同
J₀(v)、J₁(v): 第一类零阶和一阶贝塞尔函数单位：无量纲
v: 无量纲径向变量，v = 2π NA′r/λ单位：无量纲

适用条件：积分至无穷远作总能量归一化；本式的 ρ 是实际像面半径。EE 乘 100% 后才是百分比。

瑞利判据

式 5-11

θ_{R} \approx 1.219670 \frac{λ}{D_{EP}} （物方角分辨率）

式中

θ_R: 瑞利判据给出的两物点角间隔，下标 R 表示瑞利判据单位：rad
λ: 真空波长单位：长度
D_EP: 入瞳直径单位：长度

适用条件：物方为空气、远物、小角条件下的角分辨率。

式 5-12

d_{R} \approx 0.609835 \frac{λ}{NA}, d_{R}^{'} \approx 0.609835 \frac{λ}{{NA}^{'}}

式中

d_R、d_R′: 满足瑞利判据的物方与像方两点间距；撇号表示像方单位：长度
λ: 真空波长单位：长度
NA、NA′: 物方和像方数值孔径单位：无量纲

适用条件：物方与像方距离分别使用该侧数值孔径；采用近轴标量衍射关系。

式 5-13

d_{R}^{'} \approx 1.219670 λ N_{w} （有限共轭）

式中

d_R′: 满足瑞利判据的像方两点间距单位：长度
λ: 真空波长单位：长度
Nw: 工作 F 数，Nw = 1/(2 NA′)单位：无量纲

适用条件：有限共轭像方关系，使用实际工作 F 数。

式 5-14

d_{R}^{'} \approx 1.219670 λ N （远物，空气，小孔径角）

式中

d_R′: 满足瑞利判据的像方两点间距单位：长度
λ: 真空波长单位：长度
N: 标称 F 数，N = f′/D_EP单位：无量纲

适用条件：远物、像方为空气且孔径角较小时，以标称 F 数近似工作 F 数。

点列图与 RMS 光斑

式 5-15

\bar{x} = \frac{\sum_{i} w_{i} x_{i}}{\sum_{i} w_{i}}, \bar{y} = \frac{\sum_{i} w_{i} y_{i}}{\sum_{i} w_{i}}

式中

xᵢ、yᵢ: 第 i 条取样光线在评价像面上的交点坐标单位：长度
wᵢ: 第 i 条光线的非负权重单位：相对权重，归一化后无量纲
x̄、ȳ: 按相同权重求得的点列质心坐标单位：长度
i、Σ: i 为取样光线序号，Σ 表示对全部取样光线求和单位：序号与运算符

适用条件：同一物点、波长及评价像面，权重之和大于 0；RMS 的参考点取质心。

式 5-16

r_{RMS} = \sqrt{\frac{\sum_{i} w_{i} [{(x_{i} - \bar{x})}^{2} + {(y_{i} - \bar{y})}^{2}]}{\sum_{i} w_{i}}}

式中

r_RMS: 相对质心的均方根光斑半径，RMS 表示均方根单位：长度
xᵢ、yᵢ: 第 i 条取样光线在评价像面上的交点坐标单位：长度
wᵢ: 第 i 条光线的非负权重单位：相对权重，归一化后无量纲
x̄、ȳ: 按相同权重求得的点列质心坐标单位：长度
i、Σ: i 为取样光线序号，Σ 表示对全部取样光线求和单位：序号与运算符

适用条件：同一物点、波长及评价像面，权重之和大于 0；RMS 的参考点取质心。

奈奎斯特频率

式 5-17

ν_{N} = \frac{1}{2 p} = \frac{500}{p_{μ m}} lp / mm

式中

ν_N: 奈奎斯特空间频率，下标 N 表示奈奎斯特限单位：lp/mm
p: 沿所考察方向的像元中心间距单位：mm
p_μm: 同一间距以 μm 表示时的数值，例如 10 μm 时取 10单位：μm 数值

适用条件：等间距一维采样，或二维矩形采样在指定方向上的分量；这里的采样频率为空间频率。

系统 MTF

式 5-18

H_{sys} (ν) = \prod_{j} H_{j} (ν), {MTF}_{sys} (ν) = \prod_{j} {MTF}_{j} (ν)

式中

H_sys(ν)、Hⱼ(ν): 系统及第 j 个环节的归一化光学传递函数（复数 OTF）；sys 表示系统单位：无量纲
MTF_sys(ν)、MTFⱼ(ν): 系统及第 j 个环节的调制传递函数，为相应 OTF 的模单位：无量纲
ν: 统一到同一参考像面后的空间频率单位：长度⁻¹
j、∏ⱼ: j 为串联环节序号，∏ⱼ 表示对各环节求乘积单位：序号与运算符

适用条件：各环节可用线性、空间不变卷积模型串联表示，并使用同一频率坐标及归一化约定。

物方与像方分辨率

式 5-19

d' = | β | d, ν_{object} = | β | ν_{image}

式中

d、d′: 共轭物面与像面上相互对应的线性间隔单位：长度
β: 横向放大率，换算间隔大小时取绝对值单位：无量纲
ν_object、ν_image: 物方与像方的空间频率单位：相应长度单位的倒数

适用条件：近轴共轭成像；比较前先把尺度与空间频率换算到同一侧。

式 5-20

d_{R} \approx 0.61 \frac{λ}{NA}

式中

d_R: 按瑞利判据给出的物方两点间距单位：长度
λ: 真空波长单位：长度
NA: 物方数值孔径单位：无量纲

适用条件：均匀无遮挡圆瞳、两个等亮非相干点源的瑞利判据，使用物方 NA。

探测器

像元尺寸与像元间距

式 6-1

η_{geom} = \frac{a^{2}}{p^{2}}

式中

η_geom: 几何填充因子，即像元有效面积与像元单元面积之比单位：无量纲，0～1
a: 正方形像元的有效敏感区边长单位：长度
p: 相邻像元的中心间距单位：长度

适用条件：正方形敏感区和正方形像元排列模型，0 ≤ a ≤ p；geom 表示几何面积比。

传感器有效尺寸

式 6-2

w = N_{x} p_{x}, h = N_{y} p_{y}, d = \sqrt{w^{2} + h^{2}}

式中

Nₓ: 水平方向的有效像元数单位：整数计数
Nᵧ: 垂直方向的有效像元数单位：整数计数
pₓ: 水平方向像元中心间距单位：长度
pᵧ: 垂直方向像元中心间距单位：长度
w、h、d: 有效矩形靶面的宽、高及对角线长度单位：长度

适用条件：尺寸以有效像元阵列及其中心间距计算；像元数量与间距按同一有效区域取值。

瞬时视场（IFOV）

式 6-3

Δ θ_{sample} \approx \frac{p}{f'}, Δ θ_{active} \approx \frac{a}{f'}

式中

Δθ_sample: 相邻像元中心对应的物方角间隔；sample 表示采样单位：rad
Δθ_active: 单个像元有效敏感区对应的物方角宽；active 表示有效区单位：rad
p: 所考察方向的像元中心间距单位：长度
a: 同方向的有效敏感区宽度单位：长度
f′: 像方焦距单位：长度

适用条件：远物、近轴、小角及近似无畸变条件；p、a 与 f′ 使用同一长度单位。

辐射度学

辐照度

式 7-1

E_{e} = \frac{d Φ_{inc}}{d A}

式中

Eₑ: 辐照度，下标 e 表示辐射量单位：W/m²
Φ_inc: 入射到受照面的辐射通量；inc 表示入射单位：W
A、dA: 实际受照面积及其微分面元单位：m²

适用条件：局部定义，适用于非均匀照明；微分通量与微分面积属于同一受照面。

辐亮度

式 7-2

L_{e} = \frac{d^{2} Φ}{d A \cos θ d Ω}

式中

Lₑ: 沿指定方向的辐亮度，下标 e 表示辐射量单位：W/(m²·sr)
d²Φ: 同时落在面元与方向微元内的辐射通量单位：W
dA: 实际面元面积单位：m²
θ: 传播方向与该面元法线的夹角单位：角度
dΩ: 指定方向附近的微小立体角单位：sr

适用条件：投影面积为 dA cos θ；d²Φ 表示面积与方向的双微元通量。

辐射出射度

式 7-3

M_{e} = \frac{d Φ_{out}}{d A} = \int_{hemisphere} L_{e} (θ, φ) \cos θ d Ω

式中

Mₑ: 辐射出射度，下标 e 表示辐射量单位：W/m²
Φ_out: 从该面向外半空间发出的辐射通量，out 表示出射单位：W
dA: 实际出射面元面积单位：m²
Lₑ(θ, φ)、Lₑ: 给定方向的辐亮度；方向无关时省略角度自变量单位：W/(m²·sr)
θ、φ: 以表面法线为极轴的极角和方位角单位：角度
dΩ: 方向微元的立体角；hemisphere 表示整个出射半球单位：sr

适用条件：通量、辐亮度和出射度对应同一表面及光谱范围；积分含全部出射方向。

式 7-4

M_{e} = π L_{e} (Lambertian)

式中

Mₑ: 辐射出射度，下标 e 表示辐射量单位：W/m²
Lₑ(θ, φ)、Lₑ: 给定方向的辐亮度；方向无关时省略角度自变量单位：W/(m²·sr)

适用条件：Lambertian 表示朗伯分布，即出射半球内辐亮度与方向无关；此时半球投影积分为 π sr。

立体角

式 7-5

Ω = \frac{A_{Ω}}{r^{2}}, d Ω = \frac{d A_{sph}}{r^{2}}

式中

Ω、dΩ: 立体角及其微元单位：sr
A_Ω: 区域在以观察点为球心的球面上截取的面积单位：面积
r: 该球面半径单位：长度
dA_sph、A_sph: 球面面积微元及球面面积；sph 表示球面单位：面积

适用条件：球面以观察点为球心；面积与半径使用一致的长度单位。

式 7-6

Ω_{cone} = 2 π (1 - \cos α)

式中

Ω_cone: 圆锥所张立体角，cone 表示圆锥单位：sr
α: 圆锥半角，即母线与圆锥轴的夹角单位：角度

适用条件：圆锥半角 0 ≤ α ≤ π；用 Ω ≈ πα² 作小角近似时，α 必须以 rad 计。

发射率

式 7-7

ε_{λ} (θ, φ, T) = \frac{L_{λ, em} (θ, φ, T)}{B_{λ} (T)}

式中

ε_λ(θ, φ, T): 波长 λ、方向 (θ, φ)、温度 T 下的光谱方向发射率单位：无量纲
L_λ,em: 物体自身热发射的光谱辐亮度，em 表示自身发射单位：W/(m²·sr·m)，按每米波长
B_λ(T): 同温黑体的光谱辐亮度单位：与 L_λ,em 相同
λ、T: 真空波长与绝对温度单位：m、K
θ、φ: 相对于表面法线的极角与方位角单位：角度

适用条件：分子和分母取相同波长、温度及谱密度单位；方向式按同一方向比较。

式 7-8

ε_{λ, h} (T) = \frac{M_{λ, em} (T)}{M_{λ, B} (T)}

式中

ε_λ,h(T): 光谱半球发射率；h 表示半球单位：无量纲
M_λ,em、M_λ,B: 物体自身发射和同温黑体的光谱辐射出射度；B 表示黑体单位：W/(m²·m)，按每米波长
λ、T: 真空波长与绝对温度单位：m、K

适用条件：分子和分母均对各自出射半球积分，使用相同波长、温度及谱密度单位。

普朗克定律

式 7-9

M_{λ, B} (T) = \frac{2 π h c^{2}}{λ^{5}} {[\exp (\frac{h c}{λ k_{B} T}) - 1]}^{- 1}

式中

M_λ,B(T): 温度 T 下黑体的光谱辐射出射度，λ 表示按波长计谱密度，B 表示黑体单位：W/(m²·m)
λ: 真空波长单位：m
T: 黑体绝对温度单位：K
h: 普朗克常数，6.62607015 × 10⁻³⁴单位：J·s
c: 真空光速，299792458单位：m/s
k_B: 玻尔兹曼常数，1.380649 × 10⁻²³；B 为常数名称的下标单位：J/K

适用条件：热平衡黑体，λ > 0、T > 0；所列 SI 常数值为精确定义值。按每 μm 表示谱密度时，将每 m 的数值乘 10⁻⁶。

表观温度

式 7-10

\begin{matrix} L_{λ, \det} = τ_{λ} [ε_{λ} B_{λ} (T_{o}) + (1 - ε_{λ}) B_{λ} (T_{r})] \\ + (1 - τ_{λ}) B_{λ} (T_{a}) \end{matrix}

式中

L_λ,det: 到达探测器的光谱辐亮度，det 表示探测器端单位：W/(m²·sr·m)
τ_λ: 该波长的路径透过率单位：无量纲，0～1
ε_λ: 简化模型采用的目标光谱发射率单位：无量纲，0～1
B_λ(T): 温度 T 的黑体光谱辐亮度单位：与 L_λ,det 相同
Tₒ: 目标绝对温度，o 表示目标单位：K
Tᵣ: 反射背景的等效黑体温度，r 表示反射背景单位：K
Tₐ: 等温传输路径的温度，a 表示路径介质单位：K

适用条件：不透明漫反射目标、等效黑体反射背景、无散射且等温的传输路径；光谱量均对应同一波长。

式 7-11

\int R (λ) L_{λ, \det} d λ = \int R (λ) B_{λ} (T_{app}) d λ

式中

R(λ): 所选通道的光谱响应及标定权重；等式两侧采用同一权重单位：按通道标定定义
L_λ,det: 到达探测器的光谱辐亮度，det 表示探测器端单位：W/(m²·sr·m)
B_λ(T): 温度 T 的黑体光谱辐亮度单位：与 L_λ,det 相同
T_app: 产生相同带内响应的等效黑体温度，即本模型的表观温度单位：K
λ、dλ: 真空波长及波长积分微元单位：m，与谱密度一致

适用条件：积分覆盖选定测量通道，含相同的光谱响应及标定权重；两侧波长、谱密度和响应单位须一致。

红外成像

噪声等效温差（NETD）

式 8-1

NETD = \frac{σ_{S}}{| d S / d T |} \approx Δ T \frac{V_{N}}{| Δ V_{S} |}

式中

NETD: 噪声等效温差单位：K，常用 mK
σ_S: 按规定区域、时间样本及处理条件测得的输出噪声均方根单位：与输出 S 相同
S、dS/dT: 系统输出及其在给定温度附近的局部温度响应斜率单位：输出单位、输出单位/K
ΔT: 用于测定局部响应的已知黑体温差，取正值单位：K
V_N: 均方根噪声电压，下标 N 表示噪声单位：V
ΔV_S: 由 ΔT 引起的信号电压差，下标 S 表示信号单位：V

适用条件：同一工作条件下的局部线性响应，斜率非零；电压形式要求噪声与信号使用同一读出及处理尺度。