立体角：定义、图解与公式

立体角描述一个区域相对于观察点所张开的三维方向范围。以观察点为球心作半径为 r 的球面，该区域在球面上截取面积，则立体角为 /r²。其 SI 单位为球面度，符号 sr；整球对应 4π sr，半球对应 2π sr。

式中的面积是以观察点为球心的球面面积。圆锥半角 α 对应第二式；对于相距 r、法线与连线夹角为 θ 的微小平面面元，则有 dΩ = cosθ dA/r²。后者为微分投影关系。

式 7-5

Ω = \frac{A_{Ω}}{r^{2}}, d Ω = \frac{d A_{sph}}{r^{2}}

式中

适用条件：球面以观察点为球心；面积与半径使用一致的长度单位。

为以观察点为球心的球面面积，不是平面投影面积。

式 7-6

Ω_{cone} = 2 π (1 - \cos α)

式中

适用条件：圆锥半角 0 ≤ α ≤ π；用 Ω ≈ πα² 作小角近似时，α 必须以 rad 计。

α 为圆锥半角；Ω ≈ πα² 为小角近似，较大角度使用保留余弦的表达式。

圆锥立体角与球面截取区域。图示 α = 30°，球面帽对应 Ω ≈ 0.8418 sr；三维构型经正交投影显示，阴影区域属于球面而非二维圆扇形。

立体角