艾里斑：定义、图解与公式

艾里斑是均匀、无中心遮拦圆瞳在无像差、单色标量衍射条件下形成的中央亮斑，边界为第一暗环。外围亮暗环与中央斑合称圆瞳衍射图样。本汇编统一采用“艾里斑”译名。

以真空波长 λ、像方数值孔径 NA′ 和径向坐标 r 表示，峰值归一化辐照度为下式，J₀、J₁ 为第一类零阶、一阶贝塞尔函数，v = 0 时取连续极限。将辐照度在半径 r 内按面积积分，可得包围能量比 EE(r)。

式 5-7

r_{A} = \frac{v_{1}}{2 π} \frac{λ}{{NA}^{'}} \approx 0.609835 \frac{λ}{{NA}^{'}} \approx 1.219670 λ N_{w}

式中

适用条件：单色、均匀照明、无遮挡圆瞳的标量衍射模型；像面关系采用近轴条件。

式 5-8

θ_{A} \approx 1.219670 \frac{λ}{D_{EP}} （远物，空气）

式中

适用条件：物方为空气、远物、小角条件；θ_A 为半径对应的角量。

为中央亮斑半径，直径为 2；v₁ = 3.831706 为 J₁ 的第一正零点。NA′ 形式采用标量近轴成像模型， = 1/(2NA′)；远物、空气、小孔径角条件下 ≈ N，可写为 ≈ 1.22λN。

式 5-9

\frac{E (r)}{E (0)} = {[\frac{2 J_{1} (v)}{v}]}^{2}, v = \frac{2 π {NA}^{'} r}{λ} = \frac{π r}{λ N_{w}}

式中

适用条件：均匀无遮挡圆瞳；v = 0 时按极限取 E(r)/E(0) = 1。

式 5-10

EE (r) = \frac{\int_{0}^{r} E (ρ) 2 π ρ d ρ}{\int_{0}^{\infty} E (ρ) 2 π ρ d ρ} = 1 - J_{0}^{2} (v) - J_{1}^{2} (v)

式中

适用条件：积分至无穷远作总能量归一化；本式的 ρ 是实际像面半径。EE 乘 100% 后才是百分比。

前 3 个暗环对应 v = 3.831706、7.015587、10.173468，环内包围能量分别约为 83.78%、90.99%、93.76%。第一亮环极大位于 v = 5.135622，峰值约为中央峰值的 1.750%；半高全宽为 1.028994λ。数值由上述解析式计算。

艾里图样的中心截面，横坐标以 λ 归一化，虚线标出第一暗环。空气中 λ = 550 nm、 = 4 时， ≈ 2.683 μm，中央斑直径约为 5.367 μm。提示：遮拦、非均匀照明、像差及宽谱积分会改变此图样。

艾里斑